didaktische Grundlage: Das Dreieck
Das Dreieck
Das Dreieck stellt eine Fläche dar, welche die geringste Anzahl von Seiten und Ecken besitzt. Am Beginn der Einheit stellen die Schüler durch das Suchen nach Dreiecken in ihrer Umgebung einen direkten Sachbezug zu dem Unterrichtsgegenstand her. In dieser Phase kann auch auf die einzelnen Dreiecksarten eingegangen werden, sodass die Schüler einen groben Überblick über das Spektrum der Dreiecke erhalten. Ergänzend zu dieser Einheit kann hier eine Wiederholung der Flächenberechnung der Vierecke stattfinden, da diese bei sehr vielen Methoden der Herleitung die Grundlage dazu bilden.
Bei der Bestimmung des Flächeninhalts und bei der Herleitung zur Flächeninhaltsformel können ganz unterschiedliche Zugänge geschaffen werden. Im folgenden sind einige Zugangsweisen exemplarisch dargestellt.
(1) Zerlegen von Vierecken (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 155)
Bei dieser Vorgehensweise kann der Flächeninhalt durch das Halbieren besonderer Vierecke geschehen. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 155)
Der Lehrer hat dabei die Aufgabe geeignete Vierecke zu finden (siehe Beispiele). Die Formel kann bei dieser Methode mit Hilfe des zerlegten Vierecks erarbeitet werden.
Flächeninhaltsbestimmung durch Zerlegen von Vierecken. (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 155)
(2) Ergänzung zu einem Parallelogramm oder einem Rechteck (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 156)
Diese Methode zur Herleitung der Flächeninhaltsformel des Dreiecks kann für den Schüler in enaktiver Weise geschehen. Dazu zeichnet der Schüler zwei gleiche Dreiecke und schneidet eines der beiden aus. Im nächsten Schritt legt er die Dreiecke aneinander, sodass ein Viereck entsteht, welches mit Hilfe der Angaben des Dreiecks (Höhe und Grundseite) leicht zu berechnen ist. (siehe Graphik)
Flächeninhaltsbestimmung durch Ergänzng zu einem Parallelogramm (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 156)
An diesem Modell wird die Flächeninhaltsformel für das Dreieck für den Schüler leicht verständlich, da an dieser Stelle direkt auf die Angaben des Dreiecks eingegangen wird und sie zur Berechnung des Vierecks verwendet werden.
(3) Umwandeln zu einem Rechteck (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 156)
Die nun folgende Methode geht auf die Ergänzung eines Dreiecks zu einem Rechteck ein. Dabei zerschneiden die Schüler das Dreieck und legen es zu einem Rechteck zusammen. Um diese Art der Annäherung an die Flächeninhaltsformel zu begreifen ist es wichtig, dass die Schüler jeweils zwei Schenkel des Dreiecks halbieren, wodurch sich die Höhe des Dreiecks halbiert. Die Schüler können feststellen, dass ein flächengleiches Rechteck mit halber Höhe des Dreiecks entsteht. Auf diese Weise ist die Formel für den Flächeninhalt hergeleitet und von den Schülern enaktiv erfahrbar gemacht worden.
Flächeninhaltsbestimmung durch Umwandlung zu einem Rechteck (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 156)
(4) Drehen und Spiegeln von Teilflächen
Ein weiterer Weg zur Herleitung der Formel bietet die Drehung um 180° bzw. die Punktspiegelung an. Dabei werden bestimmte Teilflächen des Dreiecks gedreht oder gespiegelt, sodass sich für die Schüler eine bekannte Figur ergibt, deren Flächeninhalt mit Hilfe der Dreiecksangaben berechnet werden kann.
Die Schüler erhalten auch in diesem Zusammenhang einen Einblick in die Herleitung der Formel und können so den Aufbau dieser verstehen.
Flächeninhaltsbestimmung durch Punktspiegelung (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 157)
Flächeninhaltsbestimmung durch Drehung um 180° bei M (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 157)
Die Umfangberechung ähnelt der von Vierecken, sodass in einem späteren Kapitel näher darauf eingegangen wird.
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