didaktische Grundlage: Der Kreis

Die Form des Kreises spiegelt das Idealbild einer runden Figur wider und kann als elementarste ebene Grundfigur angesehen werden. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 181)

Seine Erscheinung kann von anderen Figuren grundlegend unterschieden werden.

Kreise können in unterschiedlicher Gestalt im Alltag vorkommen z.B. als Rand eines Bechers, als Rad oder Reifen, sowie als Ring. Die Vorteile des Kreises, wie z.B. die niedrige Verletzungsgefahr, oder die Eigenschaft des gleichmäßigen Abrollen der Räder, kann durch die Schüler herausgefunden werden. Auf Grund dieser ersten sehr elementaren Auseinandersetzung mit dem Begriff des Kreises wird ein erster Zugang zu dem Thema geschaffen, sodass die Einführung der Begriffe ‚Mittelpunkt‘, ‚Durchmesser‘ und ‚Radius‘ leichter fallen.

Die Umfangsberechnung des Kreises kann durch Abrollen eines runden Körpers, oder durch Fadenmessen erarbeitet werden. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 187)

Bei dieser Übung kann auch die Hinführung zur Kreiszahl Pi erfolgen. Dazu können die Schüler folgende Tabelle aufstellen und mit ihren Werten ausfüllen. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 187f)

Bei der Betrachtung der Verhältnisdarstellung zwischen Durchmessser (d) und Umfang (U) können die Schüler erkennen, dass sich die Werte alle in einem Bereich befinden. Dies lässt auf eine konstante Zahl schließen. Der Lehrer kann nun auf die Kreiszahl Pi hinweisen und den Schülern weiterführende Informationen über diese irrationale Zahl geben. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 188)

Durch die Verhältnisdarstellung d : u = π kann man leicht zur Berechnungs-formel für den Umfang eines Kreises gelangen. Es entsteht nach dem Umstellen der Gleichung die Formel: d  π = U

Zur Flächenberechnung des Kreises müssen im Gegensatz zu den behandelten Vierecken neue Wege zur Anschauung verwendet werden. Zur Veranschauung und zur Annäherung an den Flächeninhalt eignen sich beispielsweise folgende Methoden:

(1) „Eingrenzung durch In- und Umquadrat“ (Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 189), sowie (2) „Auszählen der Quadratmillimeter“ (Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 189)

Bei der ersten Methode zeichnen die Schüler um und in einen Kreis ein Quadrat und ermitteln jeweils die Flächeninhalte, bereits an dieser Stelle kann eine erste Annäherung an den Flächeninhalt geschehen.

Inquadrat und Umquadrat (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 189)

Bei der zweiten Methode konstruieren die Schüler einen Kreis mit r = 10 mm auf Millimeterpapier, sodass sie die einzelnen Kästchen auszählen. Hierbei werden zerschnittene Karos als halbe Kästchen gezählt. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 189)

Durch diese Methode lässt sich, wenn auch mühsam, eine gute Annäherung an den Flächeninhalt des Kreises finden.

Kreis auf Milimeterpapier (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematik-unterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 189)

Die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts kann auch hier mit Hilfe der folgenden Tabelle hergeleitet werden. Die Schüler tragen dabei ihre ermittelten Ergebnisse ein.

Die Schüler werden auch hier feststellen, dass bei der Bestimmung des Flächeninhalts die Kreiszahl Pi eine wichtige Rolle spielt.

Wie bereits bei der Umfangberechnung lässt sich auch aus dieser Verhältnisdarstellung A : r

Berechnung des Umfangs

Immer wieder werden von den Schülern „Umfang“ und „Flächen-inhalt“ („Oberfläche“ und „Volumen“) verwechselt. Aus diesem Grunde muss im Unterricht alles aufgeboten werden […] um eine Unterscheidung der Begriffe zu ermöglichen.“ (Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 97)

Begriff „Umfang“

Unter dem Umfang eines Vielecks versteht man die Länge seiner Begrenzungslinie.

Die Schüler können die Begrenzungslinie erfahren und erfassen durch 

- Nachfahren mit dem Finger

- Nachmalen mit einem (Farb-) Stift

- Ausschneiden von Figuren

- Abschreiten von Flächen (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 253)

In der Grundschule wird der Umfang noch nicht mit einer Formel berechnet. Vielmehr werden Figuren hinsichtlich ihres Umfangs miteinander verglichen.

Es ergeben sich folgende Erkenntnisse:

- Umfangsgleiche Figuren müssen nicht deckungsgleich sein

- Umfangsgleiche Figuren müssen nicht denselben Flächeninhalt haben

- Flächengleiche Figuren können einen unterschiedlichen Umfang haben (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 253/ 254)

Bei dem Gespräch über den Umfang sollte auf Bekanntes zurückgegriffen  werden, dabei kann über typische Anwendungsbeispiele aus der Umwelt gesprochen werden, bei denen eine Umfangberechnung notwendig ist.

z.B. Zaun, Rahmen eines Bildes, Kantsteine an einer Terrasse oder Beetbegrenzung (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 254)

In der Sekundarstufe sollen die Schüler die Länge von Linien erst schätzen, dann messen und den Unterschied zwischen Schätzen und Messen ermitteln. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 97)

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