didaktische Grundlage: Umfang
Berechnung des Umfangs
Immer wieder werden von den Schülern „Umfang“ und „Flächeninhalt“ („Oberfläche“ und „Volumen“) verwechselt. Aus diesem Grunde muss im Unterricht alles aufgeboten werden […] um eine Unterscheidung der Begriffe zu ermöglichen.“ (Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 97)
Begriff „Umfang“
Unter dem Umfang eines Vielecks versteht man die Länge seiner Begrenzungslinie.
Die Schüler können die Begrenzungslinie erfahren und erfassen durch
- Nachfahren mit dem Finger
- Nachmalen mit einem (Farb-) Stift
- Ausschneiden von Figuren
- Abschreiten von Flächen (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 253)
In der Grundschule wird der Umfang noch nicht mit einer Formel berechnet. Vielmehr werden Figuren hinsichtlich ihres Umfangs miteinander verglichen.
Es ergeben sich folgende Erkenntnisse:
- Umfangsgleiche Figuren müssen nicht deckungsgleich sein
- Umfangsgleiche Figuren müssen nicht denselben Flächeninhalt haben
- Flächengleiche Figuren können einen unterschiedlichen Umfang haben (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 253/ 254)
Bei dem Gespräch über den Umfang sollte auf Bekanntes zurückgegriffen werden, dabei kann über typische Anwendungsbeispiele aus der Umwelt gesprochen werden, bei denen eine Umfangberechnung notwendig ist.
z.B. Zaun, Rahmen eines Bildes, Kantsteine an einer Terrasse oder Beetbegrenzung (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 254)
In der Sekundarstufe sollen die Schüler die Länge von Linien erst schätzen, dann messen und den Unterschied zwischen Schätzen und Messen ermitteln. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 97)
Ermittlung des Umfangs (Einführung)
Eine erste Auseinandersetzung mit dem Umfang von Figuren kann mit Hilfe von Streichhölzern oder Zahnstochern erfolgen. Diese umranden eine Fläche und stellen so den Umfang einer zu bestimmenden Fläche dar. Dabei kann es nützlich sein ein Punktgitter als Unterlage zu benutzen, wobei ein Zahnstocher/Streichholz immer eine Umfangseinheit darstellt. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 98) Danach kann der Umfang von Figuren bestimmt werden, welche nicht mehr in ein Gitter eingezeichnet sind.
Das Rechteck und das Quadrat mit Rückschluss auf alle Flächen
„Durch das Abrollen des Quadrates am Lineal soll noch einmal deutlich werden, dass beim Quadrat die Länge der vier Seiten gleich groß ist. Die Formel wird erst nach einer Reihe von Ausführungen mit Quadraten verschiedenster Seitenlänge aufgestellt.“ (Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 108)
Zunächst werden beim Quadrat alle 4 Seiten gemessen. Die Schüler stellen nach kurzer Zeit fest, dass es auch genügt, eine Seite des Quadrats mit dem Faktor 4 zu multiplizieren um auf das Ergebnis des Umfangs zu gelangen.
U (Quadrat) = 4a.
Analog zu dem beschriebenen Verfahren kann die Ermittlung des Umfangs eines Rechtecks erfolgen. Auch bei diesem Vorgehen sollten die Schüler erst einmal alle Seiten messen und zu der Erkenntnis gelangen, dass eine der gegenüberliegenden Seiten jeweils mit dem Faktor 2 multipliziert werden kann:
U (Rechteck) = 2a + 2b.
Durch diese Vorgehensweise können die Schüler erkennen, dass der Umfang die Summe der Seitenlängen ist. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 109) Verallgemeinert können sie dies nun auf alle Figuren anwenden.
Schlussbemerkung
Im Unterricht sollte darauf geachtet werden, dass die Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs nicht streng voneinander getrennt wird, sondern vielmehr die Bereiche ineinanderfließen und so ein Gesamtbild zur Berechnung von Figuren entsteht.
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