didaktische Grundlage

Netze und Berechnung des Oberflächeninhaltes

Die Auseinandersetzung mit Netzen ist grundlegend wichtig bei der Betrachtung der Oberflächenberechnung eines Körpers, weil die Arbeit mit Netzen immer auf die Auseinandersetzung mit der Oberfläche des einzelnen Körpers ausgerichtet ist. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 213)

Zur weiteren Übung können im Unterricht Zuordnungsaufgaben, Unterscheidungs-aufgaben, Aufgaben zur Öberflächenorientierung und viele weitere Aufgabentypen folgen. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 216)

Aus der Analyse der Polyedernetze sollen die Schüler die Erkenntnisse erhalten, dass Grund- und Deckfläche der Prismen immer inhaltsgleich sind und der Umfang der Grundfläche eine Seite, sowie die Körperhöhe die andere Seite der Mantelfläche bestimmen. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 220)

Bei spitzen Körpern stellt sich die Berechnung der Oberfläche anders als bei Prismen dar. Pyramiden können mit Hilfe der Grundfläche (z.B. Dreieck (bei Tetraeder) oder Rechteck) und den seitlichen Dreiecken berechnet werden, in dem die Flächeninhalte der einzelnen Formen addiert werden.

Bei der Oberflächenberechnung des Kegels stellt sich ein schwieriger Fall für die Hauptschule dar. Anders als bei Prismen kann nicht auf ein Rechteck zurückgeführt werden, sondern auf einen Kreisausschnitt, oder Kreissektor. Veranschaulicht werden kann dies durch das Aufschneiden eines Hohlmodells, oder das Abrollen des Modells auf einer Sandfläche. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 220f)

Das Hauptproblem besteht in der Herleitung der Flächeninhaltsformel des Kreisausschnitts. In anschaulicher Weise kann deutlich werden, dass der Umfang der Grundfläche des Kegels als Kreisbogen des Kreissektors und die Seitenlinie des Kegels als Radius des Sektors verstanden werden kann. Es bietet sich nun an den Kreissektor wie in der Zeichnung dargestellt zu zerlegen um eine Annäherung zu erreichen.

Annäherung zur Kreisberechnung bzw. mögliche Annäherung zur Berechnung des Kreissektors (aus: Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 191)

(b = Länge der Grundseite, n = Anzahl der Dreiecke) zerlegt, deren Höhe s die Seitenlänge des Kegels darstellt. Es ergibt sich für ein Bestimmungsdreieck:
A (Bestimmungsdreieck) =

und für den Kreissektor:

A (Kreissektor) = =

wird b durch den Umfang der Grundfläche ersetzt, so ergibt sich:

b = 2rπ

A = π

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