didaktische Grundlage

Der Begriff „Flächeninhalt“

„Zwei Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie

a) deckungsgleich sind, d.h. sie können so übereinander gelegt werden, dass sie sich gegenseitig genau abdecken und von keiner Fläche etwas übersteht

b) zerlegungsgleich sind, d.h. jede der Flächen kann in dieselbe Teilfigur zerlegt oder als Umkehrung dazu aus den selben Teilfiguren zusammen-gesetzt werden,

c) auslegungsgleich sind, d.h. jede Figur kann lückenlos und ohne Überlappen mit der gleichen Anzahl von Einheitsflächen (z.B. Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken) ausgelegt werden.“ (Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 246)

Zur Aneignung dieses Begriffs stehen unterschiedliche Aktivitäten zur Auswahl, z.B. Legen, Zerlegen, Zusammensetzen, Spannen am Geobrett, Einfärben und Zeichnen. Dabei sollten Erfahrungen zunächst auf der enaktiven Ebene gemacht werden (z.B. schneiden, kleben). Danach kann auf der ikonischen Ebene das Zeichnen, Färben und Auszählen (z.B. von Kästchen) erarbeitet werden.

Man sollte bei der Auswahl der Aktivitäten und der Methoden darauf achten, dass die Definition der Flächengleichheit in folgenden Stufen erfasst wird:

1) Direktes Vergleichen von Flächen

2) Direktes Vergleichen von Flächen durch Zerlegen und Zusammensetzen

3) Indirektes Vergleichen von Flächen durch Auslegen (vgl. Franke, Marianne, Didaktik der Geometrie, S. 246/ 247)

zu (1)

Schüler erkundet die Frage: „Passt ein Gegenstand in einen anderen?“

Beispiel: Ausweis in eine Hülle, Blatt in eine Klarsichthülle oder Buch in eine Tasche

zu (2)

Schüler erkundet die Frage: „Sind die Figuren gleich groß, wenn ich sie zerlege/ zusammensetze?“

Beispiel: Welcher Drachen ist größer? oder Tangramme

zu (3)

Schüler erkunden die Frage: „Sind die Figuren mit gleich vielen Kästchen (o. Einheitsflächen) zu füllen?“

Beispiel: Wie viel Tapete wird benötigt?, Wie viel Samen braucht man für den Garten? oder Wie viel Teppichboden braucht man?

Die erworbenen Kenntnisse sind grundlegend für die Erarbeitung des Flächeninhalts und der Flächeninhaltsformel in der Sekundarstufe I. Die Erfahrung mit den Begriffen Länge, Zeitspanne, Winkelmaß, Flächeninhalt und Volumen stellen die Einführung in die Geometrie der Sekundarstufe I dar. Es werden Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten geschätzt, sodass die Schüler eine Vorstellung von Größen und Einheiten erhalten.

Berechnung des Flächeninhalts

In der weiteren Ausführung setze ich mich mit den Möglichkeiten zur Flächenberechnung auseinander. Dazu habe ich eine beliebige Reihenfolge gewählt, da diese von Lehrkraft zu Lehrkraft variiert.

Zu Beginn steht die Begriffserklärung des Flächeninhalts in allgemeiner Form. Zu diesem Begriffsfeld gehören die Begriffe deckungsgleich (kongruent), zerlegungsgleich und ergänzungsgleich. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 99)

In einer Anbindung an die Auseinandersetzung in der Grundschule erhält der Schüler nun eine Erweiterung dieses Themengebiets.

Zunächst werden Flächen verglichen, in dem sie aufeinander gelegt werden. „Bei dieser Übung sollten die Figuren so gewählt sein, dass durch augenscheinliches Betrachten bzw. durch Aufeinanderlegen festgestellt werden kann, dass der Flächeninhalt der Figuren unterschiedlich ist.“ (Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 99 ) Diese Übung sollte ohne Messinstrumente durchgeführt werden, da sie der Begriffsfindung dient. Die Schüler sollen erkennen, dass Figuren bezüglich ihres Flächeninhalts verglichen werden können. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 99)

Dazu können Relationen erarbeitet werden, wobei der Schüler folgende Formulierungen benutzt: „…hat einen größeren Flächeninhalt als…“ oder „… hat einen kleineren Flächeninhalt als…“ (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 99)

Im Anschluss daran kann die Kongruenz der Figuren überprüft werden. Dazu können kongruente und nicht kongruente Figuren auf Transparentpapier gezeichnet und ausgeschnitten werden. Durch das Aufeinanderlegen der Figuren soll festgestellt werden, welche Figuren deckungsgleich sind und welche nicht. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 100)

Im weiteren Verlauf kann die Flächeninhaltsvarianz durch Zerlegen in Teilfiguren thematisiert werden.

Die Schüler sollen in diesem Unterrichtsabschnitt erkennen, dass der Flächeninhalt durch Zerlegen und Zusammensetzen der Teile zu einer neuen Figur gleich bleibt (s. Tangramme).

Am Ende dieser Unterrichtseinheit könnte das Finden einer geeigneten Maßeinheit zum Auslegen der Fläche stehen. Die Schüler können in dieser Übung erst einmal selbst probieren, welche Einheitsflächen zur Auslegung von Flächen geeignet sind. Sie erkennen, dass ein Rechteck beispielsweise mit Quadraten lückenlos ausgelegt werden kann. (vgl. Leutenbauer, Helmut, Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. bis 10. Jahrgangsstufe (Geometrie), S. 101)

Dadurch ergibt sich die Erkenntnis zur Einheitsfindung: „QUADRATzentimeter, QUADRATmeter, QUADRATdezimeter…“

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